<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          9 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Sexta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadores
          Clia Rosa e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
          CEP 01326-010 
          Tel.: (11) 3598-6000
          Caixa Postal 65149 -- CEP da Caixa Postal 01390-970
          Internet: ~,http:www.ftd.com.br~,
          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,

                                I
 Sumrio 

 Sexta Parte

<R+>
 48 -- Tringulos 
  semelhantes :::::::::::::: 657 
 Propriedade ::::::::::::::: 661 
 Teorema fundamental da 
  semelhana de 
  tringulos ::::::::::::::: 672 
 Tratando a informao 
  A mediana ::::::::::::::: 690
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 696 

 Unidade 9

 Estudando as Relaes 
  Mtricas no Tringulo 
  Retngulo ::::::::::::::: 705 
 49 -- O teorema de 
  Pitgoras ::::::::::::::: 707 
 O tringulo retngulo dos 
  egpcios ::::::::::::::::: 710 
 O teorema de Pitgoras ::: 710 
<p>
 Aplicando o teorema de 
  Pitgoras nas construes 
  geomtricas :::::::::::::: 718 
 Uma outra demonstrao do 
  teorema de Pitgoras :::: 719
 Duas aplicaes 
  importantes :::::::::::::: 731
 50 -- As relaes mtricas 
  no tringulo retngulo ::: 739 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 760
<R->

<228> 
<ta c. da mat. 9 ano>
<T+657>
 48 -- Tringulos semelhantes

  Voltemos aos dois mapas do estado do Paran, desenhados cada um em uma escala.
Destaquemos agora os tringulos cujos vrtices so os trs pontos que indicam as cidades
de Curitiba, Maring e Cascavel.

<R+>
 _`[{dois mapas: "Estado do 
  Paran". O mapa 2  uma ampliao do mapa 1. Uma linha vermelha liga as cidades de 
  Curitiba, Maring e Cascavel, formando um tringulo_`]
<R->

  Esses dois tringulos satisfazem as condies que tornam semelhantes dois polgonos:
os ngulos internos so respectivamente congruentes, e os lados correspondentes so
proporcionais.
  Os tringulos, porm, constituem um caso especial: basta que uma das duas condies
de semelhana se verifique. Se uma delas for satisfeita, a outra tambm o ser.
  Ento:
<R+>
 o Os ngulos internos so respectivamente congruentes:

<F->
     A
      -
      ^
        ^ 
          ^   
B----------uC

       M
        -
        ^
          ^ 
            ^   
              ^
                ^
N----------------uP

_`[:A=:M=86; :B=:N=60; :C=:P=34_`]
<F+>

 :A==:M, :B==:N, :C==:P :> tringulo A{b{c $?; tringulo M{n{p
<L>
<229>
 o Os lados correspondentes so proporcionais:

<F->
          A
          -
          ^
2,0 cm     ^ 3,0 cm 
              ^   
    B----------uC
        3,5 cm

           M
           -
           ^
             ^ 
3,2 cm        ^ 4,8 cm   
                 ^
                   ^
   N----------------uP
          5,6 cm
<F+>

 A{bM{n=2,03,2=2032=58=
  =0,625
 A{cM{p=3,04,8=3048=58=
  =0,625
 B{cN{p=3,55,6=3556=58=
  =0,625
 Tringulo A{b{c $?; tringulo M{n{p
<R->

  Portanto:

  Dois tringulos so semelhantes quando tm: os ngulos internos
respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionais.

  Em dois tringulos semelhantes:
<R+>
 o Os ngulos congruentes so chamados ngulos correspondentes.
 o Os lados opostos aos ngulos correspondentes so chamados lados homlogos.
<R->
  Se dois tringulos tm dois ngulos respectivamente congruentes, o terceiro ngulo
de cada tringulo tambm ser congruente, pois a soma das medidas dos ngulos internos 
de cada tringulo  igual a 180.

  Assim, para saber se dois tringulos so semelhantes, basta verificar
se eles possuem dois ngulos respectivamente congruentes.

 Propriedade

  Consideremos os tringulos A{b{c e M{n{p _`[no adaptados_`].
  Pelas indicaes nas figuras _`[no adaptadas_`], temos:
 :A==:M
 :B==:N
 :C==:P
  Ento, tringulo A{b{c $?; tringulo M{n{p.

<230>
  Vamos mostrar que A{bM{n=
 =A{cM{p=B{cN{p.
  Como os ngulos :M e :A so congruentes, vamos
sobrepor o tringulo M{n{p ao tringulo A{b{c, de modo que :M e :A fiquem
superpostos.
  Nessas condies, ^c?N{p*  paralelo a ^c?B{c*, pois :N==:B,
e :N e :B so correspondentes.

<F->
                      {a={m
                     ~
                 ~^  
             ~^     
      {n }-------- {p
     ~^           
 }--------------
{b               {c
<F+>

  Pelo teorema de Tales:
 A{bM{n=A{cM{p I

 = -- quer dizer coincidente

  Como os ngulos :N e :B so congruentes, vamos
sobrepor o tringulo M{n{p ao tringulo A{b{c, de modo que :N e :B fiquem
superpostos.
  Nessas condies, ^c?M{p*  paralelo a ^c?A{c*, pois :M==:A,
e :M e :A so correspondentes.

<p>
<F->
                       {a
                     ~
              {m ~^  
             ~     
         ~^        
     ~^          
 }-------------
{b={n      {p    {c 
<F+>

  Pelo teorema de Tales:
 B{cN{p=A{bM{n II

  Das igualdades I e II, conclumos que:
 A{bM{n=A{cM{p=B{cN{p
  Ou seja, os lados do tringulo A{b{c so proporcionais aos lados correspondentes do tringulo M{n{p.

  Se dois tringulos so semelhantes, ento os lados de um so proporcionais aos lados homlogos do outro.

  Vamos analisar alguns exemplos em que aplicamos essa propriedade.
<R+>
 1- Considerando a figura seguinte, determinar as medidas x e y.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<231>
 Comparando os tringulos A{b{c e C{d{e, temos:
 :B==:D -- ngulos retos
 :?B{c{a*==:?D{c{e* -- ngulos o.p.v.
 Como os tringulos tm, respectivamente, dois ngulos congruentes, conclumos que eles so semelhantes.
 tringulo A{b{c $?; tringulo E{d{c
 Lados homlogos: ^c?A{b* e ^c?D{e*; ^c?B{c* e ^c?C{d*; ^c?A{c* e ^c?C{e*.
 Se os tringulos so semelhantes, temos:
 A{bD{e=B{cC{d=A{cC{e
 63=x4=10y
 63 -- razo de semelhana
<p>
 Assim:
 63=x4 :> 3x=24 :> x=8
 63=10y :> 6y=30 :> y=5
 Ento, x=8 cm e y=5 cm.

 2- Um homem de 1,80 m de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento no mesmo
instante em que uma rvore projeta uma sombra de 9 m de comprimento. Qual  a
altura da rvore?
  Fazendo a representao matemtica:

<F->
        r
        l ^
1,80 m l    ^ 
        pcc   ^
        l_-_     ^
        v--#-------"
           2,70 m

<p>
  r
  l ^
  l   ^
  l     ^
x l       ^ 
  pcc      ^
  l_-_        ^
  v--#----------"
       9 m
<F+>

 Esses dois tringulos so semelhantes, pois tm dois ngulos internos respectivamente
congruentes. Ento:
 1,80x=2,709
 2,70x=91,80
 2,70x=16,2
 x=16,22,7=6
 Logo, a altura da rvore  6 m.

<232>
 _`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]

 Exerccios

 1. Em cada item,  dado um par de tringulos _`[no adaptados_`].
Diga, de acordo com as indicaes feitas, se os
pares de tringulos so ou no semelhantes.

 2. Veja os tringulos A{b{c e D{e{f _`[no adaptados_`]:
  Observando as indicaes nas figuras, responda:
 a) Esses tringulos so semelhantes?
 b) Caso sejam semelhantes, quais so os lados homlogos?

 3. Conforme as indicaes feitas nas figuras
_`[no adaptadas_`], temos que tringulo A{b{c  semelhante ao
tringulo M{n{p.  correto, ento, escrever que x2=yz?
 4. Em cada item, aparecem pares de tringulos
semelhantes _`[no adaptados_`]. Calcule as medidas x e y indicadas em cada caso.
 5. Observando que tringulo A{b{c $?; tringulo D{e{f 
  _`[no adaptados_`], qual  o valor de x?

<233>
 6. Observe os tringulos A{b{c e D{e{f:

<F->
             {a
             .
           .a  
         .a     
    9 .a         x
     .a           
   .a 45    60 
 -u-----------------u
{b                  {c

       {d
       
        ^
          ^ x
 4         ^ 
              ^
   60    45 ^
 ------------------
{e                  {f
<F+>

 Agora, responda no caderno:
 a) Os tringulos A{b{c e D{e{f so semelhantes? 
<p>
 b) Caso sejam semelhantes, indique os lados homlogos.
 c) Calcule o valor de x.

 7. Na figura seguinte _`[no adaptada_`], ^c?A{b*_l^c?C{d* e 
^c?B{c*_l^c?D{e*. Qual a medida do segmento ^c?C{e*?
 8. Observe os tringulos A{b{c e D{e{f das figuras seguintes.

<F->
       {a
       ~
          ^~
              ^~ x+6
 6               ^~ 
                      ^~
                          ^~
 -----------------------------}-
{b            y+4              {c

<p>
     {d
     ~
        ^~ 6
4          ^~ 
                ^~
 -------------------}-
{e         y           {f
<F+>

 Pelas indicaes dadas, temos que os dois tringulos
so semelhantes. Calcule os valores de x e y.
 9. Analisando a figura a seguir _`[no adaptada_`], determine o valor
de x+y.
 10. Um obelisco de 14 metros de altura projeta,
em certo momento, uma sombra de 4,80
metros. Calcule a sombra projetada, no mesmo
instante, por uma pessoa que tem 2,10 metros
de altura.
 11. Uma ripa de madeira de 3,5 metros de altura,
quando colocada verticalmente em relao
ao solo, projeta uma sombra de 0,70 metro. No
mesmo instante, um edifcio projeta uma sombra
<p>
  de 14 metros. Qual  a altura desse edifcio?
 12. Qual  a altura de um mastro usado para
hasteamento de bandeiras que projeta uma
sombra de 6 metros de comprimento no mesmo
instante em que um homem de 1,80 m de
altura projeta uma sombra de 1,20 m de comprimento?
 13. Num treino de uma equipe de voleibol,
realizado numa quadra aberta e num dia ensolarado,
o jogador Caio, que tem 2,05 m de altura,
foi abordado por uma f. Nesse instante,
algum mediu as sombras de Caio e da f, verificando
que o comprimento da sombra de Caio
era 0,80 m maior que o da sombra da f. Sabendo
que a altura da f de Caio e o comprimento
da sombra dela eram iguais, determine a altura
da f.
 14. De acordo com as indicaes na figura _`[no adaptada_`],
tringulo A{b{c $?; tringulo D{e{f. Determine as medidas x e y.
<234>
 15. Na figura a seguir _`[no adaptada_`], os ngulos ^a e ^b tm a
mesma medida. Calcule, ento, as medidas dos
segmentos ^c?P{s* e ^c?R{s*.
 16. Mostre que os tringulos A{b{c e A{m{n so
semelhantes e calcule o permetro do tringulo
A{m{n _`[no adaptados_`].

 Teorema fundamental da semelhana de tringulos
<R->

  Toda reta paralela a um lado de um tringulo -- e que encontra os outros dois lados em
pontos distintos -- determina com esses lados um tringulo semelhante ao primeiro.

  Considerando o tringulo A{b{c a seguir, traamos uma reta *r*, paralela ao lado ^c?B{c*, e que encontra
o lado ^c?A{b* no ponto D e o lado ^c?A{c* no ponto E.

<F->
       {a
       ~
          ^~
              ^~
                  ^~ 
                      ^~
                          ^~
 -----------------------------}-
{b                              {c

       {a
       ~
          ^~
  {d          ^~ {e
 :::t::::::::::::::h!::::::::::: r 
                    ^~
                        ^~
 ---------------------------}-
{b                              {c
<F+>

<R+>
  Como r_l^c?B{c*, temos:
 :B==:D (ngulos correspondentes)
 :C==:E (ngulos correspondentes) :> tringulo A{b{c $?; tringulo A{d{e
 :A==:A (ngulo comum)
<R->

  Separando os tringulos A{b{c e A{d{e, temos:

<F->
       {a
       ~
          ^~
              ^~
                  ^~   
                      ^~
                          ^~
 -----------------------------}-
{b                            {c

     {a
     ~
        ^~
            ^~ 
                ^~
 -------------------}-
{d                     {e

tringulo A{b{c $?; 
  tringulo A{d{e
<F+>

<p>
  Como os tringulos so semelhantes, seus lados homlogos so proporcionais, ou seja:

 A{bA{d=A{cA{e=B{cD{e

<235>
  Veja uma situao em que podemos aplicar essa propriedade:
  Na figura a seguir, ^c?M{p*_l^c?A{b*. Calcular os valores de x e y.

<F->
             {a
             .a. x
           .a   a. {m
         .a      .a.
    6 .a      .a   a. 6
     .a      .a       a.
   .a      .a           a.
 -u-------u---------------u.
{b  4   {p      y        {c
<F+>

  Como ^c?M{p*_l^c?A{b*, temos que tringulo A{b{c $?; tringulo M{p{c (teorema fundamental de semelhana).
  Separando os tringulos:

<F->
       {a
       ~
          ^~
              ^~ x+6
 6               ^~ 
                      ^~
                          ^~
 -----------------------------}-
{b            4+y              {c

     {m
     ~
        ^~ 6
4          ^~ 
                ^~
 -------------------}-
{p         y           {c
<F+>

  Escrevendo a proporo entre os lados homlogos, temos:
 A{bM{p=A{cM{c=B{cP{c
 64=?x+6*6=?4+y*y
 ?x+6*6=64
 4`(x+6`)=66
 4x+24=36 
 4x=36-24
 4x=12
 x=3 
<L>
 ?4+y*y=64
 6y=4`(4+y`)
 6y=16+4y
 6y-4y=16
 2y=16
 y=8

 Ento, x=3 e y=8. 

 Desafio!

  (Unicamp-SP) Uma rampa de inclinao
constante, como a que d acesso
ao Palcio do Planalto, em Braslia,
tem 4 m de altura na sua parte mais
alta. Uma pessoa, tendo comeado
a subi-la, nota que, aps caminhar
12,3 m sobre a rampa, est a
1,5 m de altura em relao ao
solo. Calcule quantos metros
a pessoa ainda deve caminhar
para atingir o ponto
mais alto da rampa.

 _`[{o professor diz_`]
  "Para a
resoluo deste
desafio, sugiro
que vocs..."

<R+>
 a) representem o fato com um
desenho (esquema da situao) no
qual estejam indicadas as medidas
envolvidas;
 b) observem os tringulos
semelhantes do desenho;
 c) escrevam uma proporo que
os permita calcular a medida
procurada;
 d) resolvam a equao correspondente;
 e) analisem a soluo obtida.

<236>
 _`[{para os exerccios 5, 6, 8, 9 e 10, pea orientao ao professor_`]
 
 Exerccios

 1. Calcule as medidas x e y indicadas na figura sendo ^c?M{n*_l^c?B{c*.

<p>
<F->
   A
   r   
   l^ 9
 x l  ^ 
   l    ^
M v------ N 
   l  6    ^
   l          ^ 15
9 l            ^ 
   l              ^
   v----------------'
  B       y         C
<F+>

 2. Na figura a seguir, em que ^c?M{n*_l^c?A{b*, mostre que a relao y=2x  vlida.

<F->
                           {a 
                        ~^_ 
                  M~^    _  
                ~^l       _ 
            ~^    l       _9
        ~^        l6     _ 
    ~^            l       _ 
 ----------------v-------#
{c        y        {n   x  {b
<F+>

 3. Representado a seguir, temos um tringulo retngulo de vrtices A, B e C, 
em que o segmento ^c?D{e*  paralelo ao lado ^c?A{b* do tringulo. 
Calcule a rea do trapzio A{b{e{d.
<R->

  rea do trapzio  dada por S=?A{d`(A{b+D{e`)*2.

<R+>
<F->
         C
    !    
    l    l
    l    l   
    l    l      
    l    l    
    l    l      
20 l    l      
    l    l        
    l D r:::::::E
    l    l        
    l    l         
    l 8 pcc       
    l    l_-_        
    v    v--#---------u
        A     15    B
<F+>

 4. Na figura seguinte, temos ^c?M{n*_l^c?B{c*. Calcule x+y.

<F->
      {b
       ~      
          ^~ x       
7,5          ^~   M
                  ^~   4  
                y .a  ^~   
  ----------------------}-  
 {c      x+3    N   6    {a

_`[:c=:n=60_`]
<F+>

 5. Na figura _`[no adaptada_`], ^c?A{b*_l^c?C{d*. Se A{b=136 cm,
C{e=75 cm e C{d=50 cm, determine a medida de ^c?A{e*.
 6. Dois terrenos, T1 e T2, tm frente para a rua
R e para a rua S, como nos mostra a figura seguinte _`[no adaptada_`]:
  Considerando que o lado ^c?B{c* do terreno T1  paralelo
ao lado ^c?D{e* do terreno T2, calcule as medidas
dos lados ^c?D{e* e ^c?C{e* do terreno T2.
 7. Um terreno tinha a forma do tringulo A{b{c
da figura a seguir. A partir um ponto D, localizado
sobre o lado ^c?A{c* desse terreno, traou-se
uma linha ^c?D{e*, paralela ao lado ^c?B{c* do terreno.
Com isso, o terreno original foi dividido em dois
lotes: um representado pelo tringulo A{d{e, e o
outro representado pelo trapzio B{c{d{e. Determine
o permetro de cada um dos dois lotes, sabendo que:

<p>
<F->
         {a  
         
          ^
            ^ 
              ^
  {e :::::::::::j {d 
                  ^
                    ^
                      ^
 ------------------------
{b                        {c
<F+>

 o B{c=60 metros.
 o E{d=48 metros.
 o A{d=56 metros.
 o D{c=x metros.
 o A{e=y metros.
 o E{b=16 metros.

<237>
 8. Para determinar a largura L de um lago,
Paulo desenhou o esquema a seguir _`[no adaptado_`], onde
^c?A{b*_l^c?C{d*. Que medida ele encontrou para a largura L do lago?
<p>
 9. Na figura _`[no adaptada_`], ^c?P{n*_l^c?A{c* e ^c?M{n*_l^c?A{b*. Determine o
valor de y em funo de x.
 10. Um observador, situado num ponto O da
margem de um rio, precisava determinar, sem
atravessar o rio, sua distncia at o ponto P,
localizado na outra margem. Para isso, marcou
com estacas outros pontos do lado da margem
onde se encontrava, de tal forma que P, O e B
ficaram alinhados entre si e P, A e C tambm.
Sabendo que ^c?O{a*  paralelo a ^c?B{c*, O{a=25 m,
B{C=40 m e O{b=30 m, qual  a distncia, em
metros, do observador em O at o ponto P?                    
<R->

 Homotetia

  E o que  homotetia?                      

  Duas figuras semelhantes, dispostas de tal modo que seus lados correspondentes
fiquem paralelos, so chamadas figuras homotticas.
  Veja alguns exemplos:

<F->
 C
 s~
 l   ^~
 l       ^~
 pcc         ^~
 l_-_             ^~
 v--#-----------------"
A                     B  

C
 s~
 l   ^~ 
 pcc    ^~
 l_-_        ^~
 v--#------------"
A              B
<F+>

<p>
<F->
D         C
 !:::::!::
 l_-_   l_-_
 h::j   h::j
 l         _  
 !::   !::
 l_-_   l_-_
 h::j:::h::j
A         B

D           C
 pccccccccpcc
 l_-_      l_-_
 v--#      v--#
 l            _ 6 cm
 l            _
 pcc      pcc
 l_-_      l_-_
 v--#------v--#
A           B
<F+>

  Para entender como podemos obter a figura homottica de uma figura dada,
consideremos dois pontos, O e A, do plano. Vamos construir o ponto A, correspondente
de A, do seguinte modo: traando a semirreta :,?O{a*
e nela marcando o ponto A, tal que
O{a=2O{a, por exemplo.

<F->
O       A       A
o:::::::o:::::::o::::
<F+>

  Nesse caso, dizemos que A  o homottico de A em relao ao ponto O (centro da
homotetia) e a razo k  2 (razo da homotetia).

<238>
<R+>
 Como ampliar uma figura, usando a homotetia?
<R->

  Temos um tringulo A{b{c e queremos ampli-lo, usando a
homotetia. Quer saber como fazer isso? Siga as orientaes!
  Primeiro, marcamos um ponto O
(centro da homotetia) qualquer. Da, traamos :,?O{a*, :,?O{c* e :,?O{b*.
  Depois, marcamos um ponto A sobre :,?O{a*, de modo que O{a=kO{a (k= razo
de semelhana ou razo da homotetia). No caso, vamos usar k=2.
  Ento, como O{a=3 cm e O{a=kO{a, temos: O{a=23 :> O{a=6 cm
  Em seguida, marcamos um ponto B sobre :,?O{b*, de modo que O{b=kO{b=2O{b,
e usamos o mesmo procedimento para encontrar C.
  Agora,  s traar os segmentos ^c?A{b*, ^c?BC* e ^c?CA* para obter o tringulo ABC, uma
ampliao do tringulo A{b{c, na razo k=2.
   claro que podemos atribuir valores diferentes para a razo k, obtendo outras
figuras homotticas  figura dada.

  Note que os lados correspondentes dos dois tringulos so paralelos.

<239>
<p>
 Chegou a sua vez!

<R+>
 _`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

 1. A figura _`[no adaptada_`] mostra o quadriltero ABCD, ampliao do quadriltero A{b{c{d a partir do ponto O.
 a) Use uma rgua para medir os lados dos dois quadrilteros. Em seguida, calcule as razes:
 o ABA{b
 o BCB{c
 o DCD{c
 o ADA{d
 b) Agora, calcule as razes:
 o O{aO{a
 o O{bO{b
 o O{cO{c
 o O{dO{d
 c) Qual  a razo entre os permetros dos quadrilteros ABCD e A{b{c{d?

<p>
 2. Usando a homotetia, desenhe um polgono qualquer no caderno e amplie-o na razo de semelhana k=3.
<R->

 Tratando a informao

 A mediana

<R+>
 1. As imagens a seguir mostram algumas pedras preciosas que so vendidas na joalheria Joia Rara.
Observe, os preos unitrios de venda e a quantidade de algumas pedras preciosas
no estoque dessa joalheria.

 _`[Quatro imagens: Ametista, Diamante, Esmeralda e Rubi_`]

<240>
<p>
 _`[Tabela adaptada em trs colunas_`]
 Legenda:
 1 coluna: Pedra
 2 coluna: Preo unitrio `(R$`)
 3 coluna: Quantidade de pedras no estoque

 !::::::::::::::::::::::::::
 l 1        _ 2     _ 3 _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Ametista  _ 10,00  _ 3  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Berilo    _ 30,00  _ 1  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Diamante  _ 190,00 _ 1  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Esmeralda _ 40,00  _ 1  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Rubi      _ 700,00 _ 3  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Topzio   _ 2,00   _ 2  _
 h::::::::::::j:::::::::j:::::j

 Embora o preo mdio de venda de uma pedra preciosa nessa loja seja aproximadamente R$217,63
`(?310,00+130,00+1
  190,00+140,00+3700,00+
  +22,00*11`), esse valor no  representativo
para os preos das gemas da Joia Rara, porque os preos muito baixos (como R$2,00) e os
muito altos (como R$700,00) influem nessa mdia.
  Para descrever mais adequadamente essa distribuio de frequncia de preos, organizamos todos
os valores em ordem crescente, a fim de procurar o preo unitrio de venda que separa os demais
preos em duas partes, considerando o mesmo nmero de dados.
  Veja como fizemos: 

2 -- 2 -- 10 --10 -- 10 -- 30 -- 40 -- 190 -- 700 -- 700 -- 700  

  Os preos esto
em reais.

 Nesse caso, dizemos que 50% dos preos de venda das gemas da Joia Rara so menores ou iguais a
30 reais, e 50% dos preos de venda so maiores ou iguais a 30 reais.
  Esse valor  uma medida estatstica e  denominado mediana dos preos de venda praticados por
essa joalheria.
  Observe como as gemas foram relacionadas a seus preos no grfico _`[no adaptado_`] e, em seguida, explique
como encontrar a mediana nesse caso.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<241>
 2. O dono da joalheria Joia Rara adquiriu um lindo jade. Veja como ficou a tabela de preos e estoque
com a compra dessa pedra:

<p>
 _`[Tabela "Preos e estoques" adaptada em trs colunas_`]
 Legenda:
 1 coluna: Pedra
 2 coluna: Preo unitrio `(R$`)
 3 coluna: Quantidade de pedras no estoque

 !::::::::::::::::::::::::::
 l 1        _ 2     _ 3 _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Ametista  _ 10,00  _ 3  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Berilo    _ 30,00  _ 1  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Diamante  _ 190,00 _ 1  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Esmeralda _ 40,00  _ 1  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Jade      _ 85,00  _ 1  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Rubi      _ 700,00 _ 3  _
 r::::::::::::w:::::::::w:::::w
 l Topzio   _ 2,00   _ 2  _
 h::::::::::::j:::::::::j:::::j

 A Joia Rara passou a ter 12 pedras, um nmero par de itens 
(e no mpar, como na tabela da questo
anterior, onde foram relacionados 11 preos de venda). Nesse caso, a mediana  calculada por meio
da mdia aritmtica dos valores centrais, de modo que 50% dos valores so menores, e os outros
50% so maiores do que o valor mediano.
  Com a aquisio da nova pedra, os preos unitrios de venda (em reais), em ordem crescente, foram
organizados assim:

 2 -- 2 -- 10 -- 10 -- 10 -- 30 -- 40 -- 85 -- 190 -- 700 -- 700 -- 700 

 O preo mediano de venda passou a ser R$35,00 `(?30+40*2`).
  Explique o significado desse valor mediano.
<R->

<p>
 Retomando o que aprendeu

<R+>
_`[{para os exerccios de 5 a 16, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Responda s questes em seu caderno.
<R+>
 1. (Saresp) Um prdio projeta uma sombra de
40 m ao mesmo tempo em que um poste de
2 m projeta uma sombra de 5 m. Ento, a altura
do prdio  de:
 a) 10 m 
 b) 12 m 
 c) 14 m
 d) 16 m

 2. Caio tem um carrinho de brinquedo que
 uma miniatura do carro de seu pai. A razo
entre o comprimento do carro do pai e o comprimento
do carro de Caio  143. Se o carro de
Caio tem 0,9 m de comprimento, qual  o comprimento
do carro do pai de Caio?
 a) 4 m 
 b) 4,2 m 
 c) 4,5 m 
 d) 4,8 m
 e) 3,6 m

 3. Para determinar a altura de uma rvore
utilizou-se o esquema a seguir.

<F->
                      *
                    *  _
                  *    _
                *      _
              *        _
            *          _
          *            _
        *_             _
      *  _             _
    *    _ 5 m        _
  *      _             _
*--------#-------------#
r::::::::w             _
l  4 m                _
l                      _
r::::::::::::::::::::::w
           30 m
<F+>

<p>
 Nessas condies, qual  a altura da rvore?
 a) 35 m 
 b) 36 cm 
 c) 37,5 m
 d) 38,5 m
 e) 40 m

<242>
4. A porta de entrada e a fachada de uma casa
so figuras retangulares semelhantes, e a razo
de semelhana da altura da casa para a altura
da porta  52. Se a altura da casa  6,0 m, qual
 a altura da porta?
 a) 2,4 m 
 b) 2,8 m 
 c) 3,2 m
 d) 3,6 m
 e) 1,8 m

 5. Considerando a figura a seguir _`[no adaptada_`], determine a
medida x indicada.
 a) 9,5 
 b) 10 
 c) 8,8
 d) 8,6
 e) 8,5

 6. Uma pessoa est a 6,30 m da base de um
poste, conforme nos mostra a figura _`[no adaptada_`].
  Sabendo que essa pessoa tem 1,80 m de altura
e projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento
no solo, qual  a altura do poste?
 a) 4,80 m 
 b) 6 m 
 c) 4,50 m
 d) 6,4 m
 e) 8 m

 7. Vamos considerar que, na figura a seguir _`[no adaptada_`],
a medida do lado A{b seja 20 cm, a medida do
lado B{c seja 5 cm, e o quadriltero B{c{m{p represente
um losango, cujo lado mede x cm.
  Nessas condies, qual  o permetro do losango?
 a) 12 cm 
 b) 16 cm 
 c) 20 cm 
 d) 18 cm
 e) 24 cm

 8. Para medir a largura x de um lago, foi utilizado
o esquema a seguir _`[no adaptado_`].
  Nessas condies, obteve-se tringulo A{b{c $?; tringulo E{d{c.
Determine, ento, a largura x do lago.
 a) 500 m 
 b) 400 m 
 c) 520 m 
 d) 450 m
 e) 550 m

 9. Que altura tem uma rvore que projeta
uma sombra de 10 m no mesmo instante em
que uma pessoa de 1,60 m de altura projeta
uma sombra de 2,50 m?
 a) 6 m 
 b) 6,2 m 
 c) 6,4 m 
<p>
 d) 6,5 m
 e) 7,2 m

 10. Os tringulos A{b{c e X{y{z, representados a
seguir, so semelhantes. No tringulo A{b{c, temos
A{b=15 cm, B{c=18 cm e A{c=27 cm. Se
o permetro do tringulo X{y{z  20 cm, qual  a
medida do lado ^c?X{z*?
 a) 5 cm
 b) 6 cm
 c) 7 cm
 d) 8 cm
 e) 9 cm

<243>
 11. Na figura _`[no adaptada_`], a altura ^c?A{d* divide o tringulo A{b{c em
dois outros tringulos semelhantes: tringulo A{b{d e tringulo A{d{c.
  Qual  o valor de x+y?
 a) 9,1 cm 
 b) 8,8 cm 
 c) 8,4 cm
<p>
 d) 9,6 cm
 e) 8,2 cm

 12. Na figura a seguir _`[no adaptada_`], vamos considerar que
A{b=4 cm e B{c=10 cm.
  Nessas condies, a medida do lado ^c?B{d* :
 a) 0,9 cm 
 b) 1,2 cm 
 c) 1,4 cm
 d) 1,6 cm
 e) 1,8 cm

 13. Observe a figura seguinte _`[no adaptada_`].
  O permetro do trapzio B{c{q{p da figura :
 a) 25 
 b) 25,5 
 c) 26
 d) 26,5
 e) 27,5

 14. Observando a figura _`[no adaptada_`], voc pode notar que
os tringulos A{e{c e A{d{b so semelhantes.
  Determine o nmero *t* indicado na figura.
 a) 9,5 
 b) 10 
 c) 10,5 
 d) 11
 e) 12
 
 15. O quadriltero A{b{c{d da figura _`[no adaptada_`]  um paralelogramo.
  Sabendo que A{b=18 cm, A{e=36 cm e
D{f=8 cm, qual  a medida do lado ^c?A{d* do paralelogramo?
 a) 16 cm 
 b) 30 cm 
 c) 18 cm 
 d) 24 cm
 e) 20 cm

 16. A figura seguinte _`[no adaptada_`] representa a cpula de
um abajur.
  Considerando as medidas indicadas no desenho,
qual  o valor de *r*?
 a) 22,5 cm 
 b) 20,5 cm 
 c) 21,5 cm 
 d) 22 cm
 e) 23 cm

               oooooooooooo

<244>
<p>
 Unidade 9

Estudando as Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo

 O tringulo retngulo na 
  Antiguidade...
<R->

  As descobertas dos
babilnios no campo da
Astronomia eram baseadas
no tringulo retngulo.
  Isso veio facilitar a noo
de localizao, o traado de
rotas terrestres e de
navegao.

<R+>
 _`[{foto_`]
 Legenda: Pintura egpcia mostrando barco fnebre atravessando o rio Nilo. 
<R->

  Mosaicos parecidos com estes, com tringulos
retngulos, eram encontrados em culturas mais
antigas e levaram o ser humano a perceber
importantes relaes na Geometria.

 _`[{desenho: Mosaico_`]

 Pra pensar, sem se cansar!

  Quantos ngulos retos h no tringulo retngulo?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<245>
  A rea do quadrado construdo sobre o lado maior do tringulo retngulo
 igual  soma das reas dos quadrados construdos sobre os dois lados
menores desse tringulo.

  Voc observa algum tringulo retngulo na imagem a seguir?

<p>
<R+>
 _`[{foto: Hall de entrada de um edifcio_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<246>
 49 -- O teorema de Pitgoras

 Explorando

  Recordando caractersticas do tringulo retngulo.
<R+>
 o  aquele que tem um ngulo reto.
 o O lado oposto ao ngulo reto chama-se hipotenusa.
 o Os lados que formam o ngulo reto chamam-se catetos.
<R->

<p>
<F->
       r.
       l  a,.
       l      a,. hipotenusa
cateto l          a,.
       pcc           a,.
       l_-_               a,.
       v--#-------------------u".
                 cateto      
<F+>

  No tringulo retngulo a seguir, a hipotenusa mede 5 cm, e os catetos medem 4 cm e 3 cm.

<F->
      r.
      l  a,. 
3 cm l      a,. 5 cm 
      pcc       a,. 
      l_-_           a,.
      v--#---------------u".
              4 cm     
<F+>

 Chegou a sua vez!

<R+>
 _`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Vamos construir quadrados sobre os lados do tringulo dado:
<L>
  Observando a figura _`[no adaptada_`], faa o que se pede.
<R+>
 1. Seja Q1 o quadrado construdo sobre a hipotenusa e A1 a
sua rea, determine o valor de A1.
 2. Seja Q2 o quadrado construdo sobre o cateto que mede
2 cm e A2 a sua rea, determine o valor de A2.
 3. Seja Q3 o quadrado construdo sobre o cateto que mede
1,5 cm e A3 a sua rea, determine o valor de A3.
 4. Escreva uma igualdade usando os valores encontrados
para A1, A2 e A3.
 5. De acordo com a resposta dada no item 4, voc poderia
dizer que, nesse tringulo retngulo, a rea do quadrado
construdo sobre a hipotenusa  igual  soma das reas
dos quadrados construdos sobre os catetos?
<R->

<p>
 O tringulo retngulo dos 
  egpcios

  A construo de pirmides de base quadrada
 uma das muitas aplicaes do conhecimento
geomtrico dos antigos egpcios, que
usavam um processo prtico para obter cantos
retos (ngulos retos).
  Usando uma corda com 12 ns, os egpcios
parecem ter construdo um tringulo retngulo
particular para obter cantos em ngulos retos.
Nesse tringulo, cujos lados mediam 3 unidades,
4 unidades e 5 unidades de comprimento,
o ngulo formado pelos dois lados menores 
um ngulo reto.

<247>
 O teorema de Pitgoras

  O filsofo e matemtico grego Pitgoras, por volta do sculo VI a.C., fundou uma escola
mstica secreta, chamada Escola 
 Pitagrica. Nela, a cincia era considerada um bem comum
e todos pesquisavam e discutiam coletivamente. Por isso, as contribuies cientficas
conquistadas no possuam autoria individual.
  Para a formao de seu famoso teorema,  possvel que Pitgoras e seus discpulos
tenham se baseado nos conhecimentos geomtricos dos egpcios e em mosaicos que
apareciam com frequncia em paredes das construes do Egito antigo.
  A figura a seguir _`[no adaptada_`] reproduz um mosaico com vrios tringulos retngulos coloridos de verde,
quadrados amarelos construdos sobre a hipotenusa desses tringulos e quadrados rosa
construdos sobre os catetos.
  Considerando a unidade de rea dada na ilustrao, podemos estabelecer a seguinte
tabela:

<R+>
 _`[{tabela adaptada_`]
 Tringulo A{b{c
 rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa: 4
 rea do quadrado construdo sobre um cateto: 2
 rea do quadrado construdo sobre o outro cateto: 2

 Tringulo ABC
 rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa: 8
 rea do quadrado construdo sobre um cateto: 4
 rea do quadrado construdo sobre o outro cateto: 4

 Tringulo ABC
 rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa: 16
 rea do quadrado construdo sobre um cateto: 8
 rea do quadrado construdo sobre o outro cateto: 8
 _`[{fim da tabela_`]
<R->

  Observando que 4=2+2; 8+4+4 e 16=8+8, Pitgoras e os pitagricos
puderam estabelecer uma relao, vlida para esses tringulos:

  A rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa  igual 
soma das reas dos quadrados construdos sobre os catetos.

<248>
  Essa descoberta estava inicialmente restrita a um tringulo retngulo particular: os tringulos
retngulos issceles.
  Porm, estudos realizados posteriormente por Pitgoras mostraram que a relao mtrica
descoberta era vlida para todos os tringulos retngulos.
  Tomando, por exemplo, o tringulo retngulo particular dos egpcios e construindo quadrados
sobre os lados desse tringulo, podemos obter a figura a seguir _`[no adaptada_`], que nos permite
estabelecer uma relao entre as medidas dos lados desse tringulo retngulo escaleno.

 25=16+9 ou 52=42+32

<p>
  Nessas condies, confirma-se a relao:

  A rea do quadrado construdo sobre o maior lado do tringulo retngulo
 igual  soma das reas dos quadrados construdos sobre os dois menores lados.

  Podemos, ento, enunciar o teorema de Pitgoras:

  Em todo tringulo retngulo, o quadrado da medida da hipotenusa
 igual  soma dos quadrados das medidas dos catetos.

<F->
     {a
     ~
        ^~ b
 c          ^~ 
                ^~
 -------------------}-
{b         a           {c
<F+>

a2=b2+c2

<p>
  Veja a seguir algumas aplicaes do teorema de Pitgoras.
<R+>

 1- Determinar a medida *a* indicada no tringulo retngulo.
  Aplicando o teorema de 
  Pitgoras, escrevemos:
 a2=52+`(3`)2 :> a2=25+3 :> a2=28 :> a=28 `(a>0`) :> a=27
 Logo, a medida *a* indicada no tringulo  27.

<F->
                    ~^_
                ~^    _  
          a ~^        _ 3   
        ~^            _ 
    ~^                _
 -u--------------------#
            5
<F+>

<249>
 2- Em um tringulo retngulo A{b{c, a hipotenusa mede a=13 cm e um dos catetos mede b=12 cm. 
Determinar a medida *c* do outro cateto.
  De acordo com o teorema de 
  Pitgoras: a2=b2+c2.
  Como so dados a=13 e b=12, podemos escrever:
 132=122+c2 :> 169=144+
  +c2
 Resolvendo a equao 169=144+
  +c2:
 c2=169-144 :> c2=25 :> c=25 :> c=5
 Ento, o outro cateto mede 5 cm.

 3- Os lados de um tringulo medem 16 cm, 30 cm e 34 cm. Verifique se esse tringulo 
retngulo.
 Sendo a hipotenusa o maior lado do tringulo retngulo, escrevemos:
 a=34 cm b=30 cm c=16 cm
 Ento:
 a2=342=1.156
 b2=302=900
 c2=162=256
 Como 1.156=900+256, temos a2=b2+c2

 Uma vez que as medidas dos lados satisfazem a relao de 
<p>
  Pitgoras, podemos
dizer que o tringulo  retngulo.

 4- O esquema a seguir _`[no adaptado_`] representa parte do mapa do bairro de uma cidade, onde podemos
ver a estao A e a estao B do metr. O trecho azul mostra um dos caminhos que
um carro pode percorrer, na superfcie, para ir de A a B, e o traado cinza mostra a linha
subterrnea do metr ligando, em linha reta, a estao A  estao B. De acordo com os
dados, qual a distncia que o metr percorre da estao A at a B?

<p>
 Modelo matemtico:

<F->  
            B
            
          ^_
        ^  _  
    x ^    _ 300 m   
    ^   pcc 
  ^     l_-_
 -------v--#
A  400 m  
<F+>

 Aplicando o teorema de 
  Pitgoras, temos:
 x2=4002+3002 :> x2=160.000+90.000 :> x2=250.000
 x2=250.000 :> x=250.000 :> x=500
 Da estao A at a estao B, o metr percorre 500 metros.

<250>
 Aplicando o teorema de Pitgoras nas construes geomtricas
<R->

  Construir um segmento ^c?A{b*, cuja medida  2 unidades, e um segmento ^c?A{c*, cuja medida
 3 unidades.
 A{b=2 unidades.
 Justificativa:
 x2=12+12
 x2=1+1
 x2=2`(x>0`)
 x=2

  A partir desse resultado, podemos obter:
 A{c=3 unidades.
 Justificativa:
 y2=12+`(2`)2
 y2=1+2
 y2=3`(y>0`)
 y=3

 Uma outra demonstrao do teorema 
  de Pitgoras

  Existem inmeras maneiras de demonstrar esse teorema.
  Vamos ver uma demonstrao baseada no clculo de reas de figuras geomtricas planas.
  Consideremos o tringulo retngulo da seguinte figura:

<F->
  C
   r.
   l  a,. 
 b l      a,. a 
   pcc       a,. 
   l_-_           a,.
   v--#---------------u".B
  A           c          
<F+>

 a= medida da hipotenusa.
 b= medida de um cateto.
 c= medida do outro cateto.

  Observe, agora, os quadrados M{n{p{q e D{e{f{g _`[no adaptados_`], que tm mesma rea, j que o lado de
cada quadrado mede `(b+c`).
<251>
  A partir desses dois quadrados, temos:
<R+>
 o rea do quadrado M{n{p{q= rea do quadrado R{s{v{t+ (rea do tringulo R{n{s) 4.
 o rea do quadrado D{e{f{g= rea do quadrado I{e{l{j+ rea do quadrado G{h{j{k+ (rea do retngulo D{i{j{h) 2.
 o rea do quadrado R{s{v{t=a2.
<p>
 o rea do tringulo R{n{s=?b
  c*2.
 o rea do quadrado I{e{l{j=c2.
 o rea do quadrado G{h{j{k=b2.
 o rea do retngulo D{i{j{h=bc.
<R->
  Como as reas dos quadrados M{n{p{q e D{e{f{g so iguais, podemos escrever:
<R+>
 a2+`(bc2`)4=c2+b2+`(bc`)2
 a2+2bc=c2+b2+2bc
<R->
  Cancelando 2bc, temos:
 a2=b2+c2
  A demonstrao algbrica do teorema de Pitgoras ser feita mais adiante.

<R+>
 _`[Para os exerccios de 1 a 24, pea orientao ao professor_`]

 Exerccios

 1. Aplicando o teorema de 
  Pitgoras, determine
a medida x indicada em cada um dos tringulos
retngulos _`[no adaptados_`].
<p>
 2. Os lados de um tringulo A{b{c medem
10 cm, 24 cm e 26 cm. Esse tringulo  retngulo?
Por qu?

 3. Na figura _`[no adaptada_`] tem-se que ^c?A{b*==^c?B{c* e F  o ponto
mdio do lado ^c?B{e* do retngulo B{c{d{e.
Nessas condies, determine:
 a) a medida x indicada na figura.
 b) a rea do retngulo B{c{d{e.

 4. Considerando a figura _`[no adaptada_`], determine:
 a) a medida *a*.
 b) a medida *b*. 
 c) a medida *c*.
 d) o permetro do trapzio M{n{p{q.

<252>
 5. Na figura a seguir _`[no adaptada_`], a rea do quadrado Q1  
900 unidades, e a rea do quadrado Q3  324 unidades. Qual a rea do quadrado Q2?

 6. O tringulo B{c{d _`[no adaptado_`]  equiltero.
  Determine o permetro do:
 a) tringulo B{c{d.
 b) quadriltero A{b{c{d.

 7. Na figura a seguir _`[no adaptada_`] tem-se que ^c?A{b*==^c?B{d*.
  Nessas condies, determine a medida do segmento:
 a) ^c?A{b* 
 b) ^c?A{d*

 8. Determine as medidas x e y indicadas na
figura _`[no adaptada_`].

 9. Observe esta figura _`[no adaptada_`]:
  Determine o permetro do:
 a) quadrado A{b{g{f. 
 b) quadrado B{c{d{e.
 c) polgono A{c{d{e{f.

<p>
 10. Para ir de sua casa at o ponto de nibus,
uma pessoa anda 120 m em linha reta at uma
esquina, dobra  esquerda numa rua perpendicular
e anda mais 160 m. Mas, se trocar de
caminho, ela pode seguir por um terreno baldio
que separa sua casa do ponto de nibus e fazer
esse trajeto em linha reta. Quantos metros ela
andar da sua casa at o ponto de nibus, se for
pelo terreno baldio?
 11. Determine as medidas x e *h* indicadas na figura _`[no adaptada_`].
 12. Sabemos que num tringulo issceles a
altura e a mediana relativas  base coincidem.
No tringulo issceles A{b{c, os lados ^c?A{b* e ^c?A{c*
medem 40 cm, e a base ^c?B{c* mede 48 cm. Determine
a medida *h* da altura relativa  base.

<p>
<F->
        A  
         .
        
        _ 
        _  
        _h  
        _    
     pcccc  
     l_-__-_   
 ----v--#--#----u
B      H        C
<F+>

 13. Sabendo que as dimenses de um retngulo
so 36 cm e 27 cm, determine a medida *d* de sua diagonal.
<253> 
 14. Em um losango, as diagonais cortam-se
ao meio, ou seja, o ponto de encontro das diagonais
 o ponto mdio de cada diagonal. Observe
a figura _`[no adaptada_`]:
  No losango P{q{r{s, a diagonal maior ^c?P{r* mede
80 cm, e a diagonal menor ^c?Q{s* mede 18 cm. Nessas
condies, calcule:
<p>
 a) a medida x do lado do losango.
 b) o permetro desse losango.

15. A figura _`[no adaptada_`]  um
trapzio retngulo. Nela, as
medidas esto indicadas
em centmetros. Determine
a medida:
 a) x do lado ^c?B{c*.
 b) y da diagonal ^c?B{d*.

 16. Um terreno triangular tem frentes de
12 m e 16 m em duas ruas que formam um ngulo
de 90. Quanto mede o terceiro lado desse
terreno?
 17. O porto de entrada de uma casa tem
4 m de comprimento e 3 m de altura. Qual a
medida da trave de madeira que se estende do
ponto A ao ponto C, conforme a indicao da
figura _`[no adaptada_`]?
 18. Trs cidades, A, B e C, so
interligadas por estradas, conforme
o esquema _`[adaptado_`]:

<p>
<F->
           C
           *@ 
         *a _
       *a   _
     *a     _   
   *a       _           
 }u---------#            
A          B 
<F+>

 As estradas A{b e B{c j so asfaltadas, e A{c dever
ser asfaltada em breve. Sabendo que A{b
tem 30 quilmetros, e B{c tem 103 quilmetros,
e supondo as trs estradas retas, quantos
quilmetros ter a estrada A{c?
 19. Um terreno tem a
forma do quadriltero
A{b{c{d da figura _`[no adaptada_`].
Uma medio feita nesse
terreno mostrou, em metros,
as medidas indicadas.
Fazendo 2=1,4, qual  o
permetro desse terreno?
<p>
 20. Dois navios partem de um mesmo ponto,
no mesmo instante, e viajam com velocidade
constante em direes que formam um ngulo
reto entre si. Depois de uma hora de viagem, a
distncia entre os dois navios  13 milhas. Se
um deles  7 milhas por hora mais rpido que o
outro, determine a velocidade de cada navio.
 21. Durante um incndio em um edifcio residencial,
os bombeiros utilizaram uma escada
Magirus de 10 m para atingir a janela de um dos
apartamentos incendiados. A escada estava colocada
a 1 m do cho, sobre um caminho que
se encontrava afastado 6 m do edifcio. Qual  a
altura desse apartamento em relao ao cho?
<254>
 22. O esquema _`[no adaptado_`] representa o projeto de
uma escada com 5 degraus de mesma altura.
  De acordo com os dados da figu-
<p>
  ra, qual  o
comprimento de todo o corrimo?
 23. Quantos metros de fio so necessrios
para ligar os fios de um poste de 6 m de altura
at a caixa de luz que est ao lado da casa e a
8 m da base do poste?
 24. Uma rvore foi quebrada pelo vento e a
parte do tronco que restou em p forma um ngulo
reto com o solo. Se a altura da rvore antes
de quebrar era 9 m, e a ponta da parte quebrada
est a 3 m da base da rvore, qual a altura do
tronco da rvore que restou em p?
<R->

 wr Histria

 A matemtica chinesa e Bhaskara

  A histria documentada da matemtica chinesa comea por volta de 1500 a.C.,
com algumas inscries em ossos e carapaas de tartaruga. O mais importante
texto de matemtica chinesa antigo  o *Chiu Chang Suan Shu* ou 
 *Nove captulos sobre a arte da Matemtica*. O livro  de autor desconhecido e contm 246 problemas,
a maior parte deles envolvendo situaes prticas.
  O famoso problema do bambu quebrado, que aparece no ltimo captulo
desse livro, apresenta o seguinte texto:
  Um bambu com 1 *zhang* de altura partiu-se, e a parte de cima tocou o cho a
3 *chih* da base do bambu. Qual  a altura da quebra? (Nota: 1 *zhang* =10 *chih*).
  No sculo XII, o matemtico hindu Bhaskara publicou o mesmo problema
assim:
  Se um bambu de 32 cbitos de altura  quebrado pelo vento de modo que
a ponta encontra o cho a 16 cbitos da base, a que altura a partir do cho ele
foi quebrado?
  Que tal voc resolver esse problema?
<L>
<255>
 Desafio!

  Observe a figura a seguir.

<F->
  
  l   
  l 
  l  
  l    
x l     y 
  l     
  pcc    
  l_-_    
  v--#-----u 
       x
<F+>

  Considerando que as medidas x e y so nmeros reais positivos, qual o valor da razo xy?

 Duas aplicaes importantes

<R+>
 1 aplicao: O teorema de 
  Pitgoras no quadrado.
<R->
  Aplicando o teorema de 
 Pitgoras, podemos estabelecer uma relao importante entre
a medida da diagonal e a medida do lado do quadrado.
  No quadrado A{b{c{d, *l*  a medida do lado e *d*, a medida da diagonal.
  Aplicando o teorema de 
 Pitgoras no tringulo retngulo A{b{c, podemos escrever:

 d2=l2+l2
 d2=2l2`(l>0`)
 d=2l2
 d=l2

<F->
 D     l      C
  pcccccccccc
  l_-_      ^ _
  v--#    ^   _
l l    d^     _ l 
  l   ^    pcc    
  l ^      l_-_    
  vu--------v--#
A      l      B  
<F+>

  Acompanhe os exemplos a seguir.

<R+>
 1- Quanto mede a diagonal de um quadrado que tem 8 cm de lado?
  Pela frmula, temos d=l2.
  Substituindo *l* por 8, temos: d=82.
 Logo, a medida da diagonal desse quadrado  82 cm.

 2- A diagonal de um quadrado mede 10 cm. Determinar a medida *l* do lado desse quadrado.
  Pelo problema, temos d=10 cm.
  Substituindo na frmula d=l2, temos:
 10=l2 :> l2=10 :> l=102 :> l=1022 :> 52
 Logo, o lado desse quadrado mede 52 cm.

<256>
 2 aplicao: O teorema de 
  Pitgoras no tringulo equiltero.
<R->
  Aplicando o teorema de 
 Pitgoras, podemos estabelecer uma relao importante entre
a medida *h* da altura e a medida *l* do lado do tringulo equiltero.
  A figura a seguir  um tringulo equiltero, em que *l*  a medida do lado e *h*  a medida da altura. Observe:

<F->
        A  
         .
        
        _ 
        _  
   l    _h   l
        _    
     pcccc  
     l_-__-_   
 ----v--#--#----u
B      H  l2 C
r:::::::::::::::::w
         l
<F+>

  No tringulo equiltero, a altura e a mediana coincidem; logo, o ponto H  ponto mdio
do lado ^c?B{c*.
  No tringulo retngulo A{h{c (:H  reto), de acordo com o teorema de Pitgoras, temos:
<R+>
 l2=h2+`(l2`)2 :> h2=l2-
  -l24 :> h2=3l24 :> h=3l24
 h=3l24 `(l>0`) :> h=l32
<R->

  Acompanhe os exemplos a seguir.

<R+>
 1- Vamos determinar a medida *h* da altura de um tringulo equiltero de lado 20 cm.
  Substituindo *l* por 20 na frmula h=l32, podemos escrever:
 h=2032=103
 Logo, a altura desse tringulo equiltero mede 103 cm.

 2- A altura de um tringulo equiltero mede 9 cm. Determinar a medida *l* do lado desse tringulo.
  Substituindo *h* por 9 na frmula h=l32, temos:
 9=l32 :> l3=18 :> l=183 :> l=1833 :> l=63
 Logo, a medida do lado desse tringulo  63 cm.

<257>
<p>
 Exerccios

 1. Um quadrado tem 4 cm de lado. Determine
a medida da diagonal desse quadrado de duas
maneiras:
 a) usando a frmula; 
 b) sem usar a frmula.

 2. O lado de um tringulo equiltero mede
12 cm. Determine a medida da altura desse
tringulo de duas formas:
 a) usando a frmula;
 b) sem usar a frmula.

 3. A diagonal de um quadrado mede 112 cm.
Determine a medida do lado e o permetro desse
quadrado.
 4. Em um tringulo equiltero a altura mede
33 cm. Qual  o permetro desse tringulo
equiltero?
 5. Se um quadrado tem 225 cm2 de rea, qual
 a medida, expressa em forma decimal, da 
<p>
  diagonal desse quadrado? (Faa: 2=1,41.)
 6. A rea de um tringulo pode ser calculada
multiplicando-se a medida de um lado pela medida
da altura relativa a esse lado e dividindo-se
o resultado por 2. Nessas condies e fazendo
3=1,73, determine a rea de um tringulo
equiltero cujo lado mede 4 cm.

 7. Na figura a seguir _`[no adaptada_`], as medidas esto expressas em centmetros.
  Determine:
 a) a medida do lado do quadrado B{d{p{q. 
 b) o permetro desse quadrado.
 c) a rea desse quadrado.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<p>
 8. A medida do lado de um tringulo equiltero
 igual  medida da diagonal de um quadrado
de lado 6 cm. Determine a medida da altura
desse tringulo.
<R->

 Desafio!

   possvel determinar na reta numrica, com razovel
preciso, um ponto cuja abscissa  um nmero irracional.
Para isso, basta construir tringulos retngulos,
usando a mesma unidade de medida usada na reta, e
depois transportar para ela, a partir do ponto associado
ao nmero zero, as medidas das hipotenusas obtidas.

 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. Usando o processo anterior, represente em uma reta numrica os nmeros 2 e 8.
 2. Verifique se 8  o dobro de 2.
<p>
 3. Depois de obtido o ponto de abscissa 3, como voc faria para obter o ponto de abscissa 12?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<258>
 50 -- As relaes mtricas no tringulo retngulo
<R->

  Alm do teorema de Pitgoras, existem outras relaes mtricas entre os elementos de
um tringulo retngulo.
  Vamos, inicialmente, identificar esses elementos considerando o seguinte tringulo
retngulo:

<p>
<F->
        A  
         .
        ^
        _  ^
        _    ^
   c    _h     ^ b 
        _        ^
     pcccc       ^
   n l_-__-_    m    ^                    
 ----v--#--#-----------"
B       H              C 
 r:::::::::::::::::::::::w
             a
<F+>

<R+>
 o ^c?B{c*  a hipotenusa; sua medida  indicada por *a*.
 o ^c?A{c*  um cateto; sua medida  indicada por *b*.
 o ^c?A{b*  outro cateto; sua medida  indicada por *c*.
 o ^c?A{h*  a altura relativa  hipotenusa; sua medida  indicada por *h*.
 o ^c?B{h*  a projeo ortogonal do cateto ^c?A{b* sobre a hipotenusa; sua medida  indicada por *n*.
<p>
 o ^c?C{h*  a projeo ortogonal do cateto ^c?A{c* sobre a hipotenusa; sua medida  indicada por *m*.
<R->
  Agora, podemos estabelecer relaes entre essas medidas, demonstradas a partir da
semelhana de tringulos e baseadas na seguinte propriedade:

  Em qualquer tringulo retngulo, a altura relativa  hipotenusa divide o tringulo em dois
outros tringulos retngulos, semelhantes ao tringulo dado e semelhantes entre si.

<p>
<F->
        A  
         .
        ^
        _  ^
        _    ^
   c    _h     ^ b 
        _        ^
     pcccc       ^
   n l_-__-_    m    ^                    
 ----v--#--#-----------"
B       H              C
 r:::::::::::::::::::::::w
             a
<F+>

<R+>
 tringulo H{b{a $?; 
  tringulo A{b{c 
 tringulo H{a{c $?; 
  tringulo A{b{c 
 tringulo H{b{a $?; 
  tringulo H{a{c 
<R->

<259>
  Agora, vejamos essas relaes:

<R+>
 1 relao: Consideremos os tringulos H{b{a e A{b{c a seguir.

<p>
<F->
        A          
         .          
                 
        _        
        _       
   c    _h      
        _     
     pcc    
     l_-_   
 ----v--#  
B   n   H    

        A 
        ^
          ^ 
            ^
              ^ b
  c             ^
                  ^
                    ^
 ---------------------" 
B          a           C  
<F+>

 :H==:A (ngulos retos)
 :B==:B (ngulo comum)
 tringulo H{b{a $?; 
  tringulo A{b{c
 Da, temos a proporo ca=nc.
  Dessa proporo, podemos escrever: cc=an :> c2=an.
  Considerando estes tringulos H{a{c e A{b{c, temos:

<F->
 A
  .
  l^   
  l  ^
  l    ^
  l      ^ b
h l        ^  
  l          ^
  pcc         ^ 
  l_-_           ^
  v--#-------------" 
 H        m        C    

<p>
         A 
         ^
           ^ 
             ^
               ^ b
   c             ^
                   ^
                     ^
                       ^
 ------------------------" 
B           a             C 
<F+>

 :H==:A (ngulos retos)
 :C==:C (ngulo comum)
 tringulo H{a{c $?; 
  trigulo A{b{c
 Da, temos a proporo ba=mb.
  Dessa proporo, podemos escrever: bb=am :> b2=am.
  Fica, ento, demonstrada esta 1 relao mtrica:
<R->

  Em qualquer tringulo retngulo, o quadrado da medida de um cateto  igual ao produto
da medida da hipotenusa pela medida da pro-
<p>
jeo desse cateto sobre a hipotenusa.

<R+>
 2 relao: Consideremos os tringulos H{b{a e H{a{c a seguir.

<F->
        A          
         .          
                 
        _        
        _       
   c    _h      
        _     
     pcc    
     l_-_   
 ----v--#  
B   n   H  

_`[Vrtice A=:A1; vtice H=:H1_`]

<p>
 A
  .
  l^   
  l  ^
  l    ^
  l      ^ b
h l        ^  
  l          ^
  pcc         ^ 
  l_-_           ^
  v--#-------------" 
 H        m        C 

_`[Vrtice A=:A2; vrtice H=:H2_`]
<F+>

<260>
 :H1==:H2 (ngulos retos)
 :A1==:C (complementos do ngulo :B)
 tringulo H{b{a $?; 
  trigulo H{a{c
 Da, temos a proporo hm=nh.
  Dessa proporo, podemos escrever: hh=mn :> h2=mn.
  Fica, assim, demonstrada esta 2 relao mtrica:
<R->

  Em qualquer tringulo retngulo, o quadrado da medida da altura relativa
 hipotenusa  igual ao produto das medidas dos segmentos que essa
altura determina sobre a hipotenusa (que so as projees
dos dois catetos sobre a hipotenusa).

<R+>
 3 relao: Da 1 relao mtrica, temos que b2=am e c2=an.
  Multiplicando membro a membro essas duas igualdades, temos:
 b2c2=aman :> b2c2=a2
  mn :> b2c2=a2h2 :> bc=ah.
 Fica, assim, demonstrada esta 3 relao mtrica:
<R->

  Em qualquer tringulo retngulo, o produto das medidas dos catetos  igual ao
produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa  hipotenusa.

<p>
<R+>
 4 relao: Vamos verificar, agora, a demonstrao algbrica do teorema de Pitgoras.

<F->
        A  
         .
        ^
        _  ^
        _    ^
   c    _h     ^ b 
        _        ^
     pcccc       ^
   n l_-__-_    m    ^                    
 ----v--#--#-----------"
B       H              C
 r:::::::::::::::::::::::w
            a
<F+>

 Como j vimos, da 1 relao, temos que b2=am e c2=an.
  Adicionando membro a membro essas duas igualdades, temos:
 b2+c2=am+an :> b2+c2=
  =a`(m+n`) :> b2+c2=a2 ou a2=b2+c2.
 Acabamos de demonstrar esta 4 relao mtrica:
<R->

  Em qualquer tringulo retngulo, o quadrado da medida da
hipotenusa  igual  soma dos quadrados das medidas dos catetos.

<261>
  Observe, agora, alguns exemplos de aplicao dessas relaes.

<R+>
 1- No tringulo retngulo seguinte, determinar as medidas *a*, *h*, *b* e *c* indicadas, considerando
que as medidas da figura so dadas em centmetros.

<F->
        A  
         .
        ^
        _  ^
        _    ^
   c    _h     ^ b 
        _        ^
     pcccc       ^
     l_-__-_         ^                    
 ----v--#--#-----------"
B 1,8  H     3,2     C
 r:::::::::::::::::::::::w
            a
<F+>

<p>
 a=m+n
 a=3,2+1,8
 a=5 cm

 h2=mn
 h2=3,21,8
 h2=5,76 `(h>0`)
 h=5,76
 h=2,4 cm

 b2=am
 b2=53,2
 b2=16 `(b>0`)
 b=16
 b=4 cm

 c2=an
 c2=51,8
 c2=9 `(c>0`)
 c=9
 c=3 cm

 2- No tringulo retngulo a seguir, vamos determinar as medidas *a*, *b*, *h* e *m* indicadas.

<F->
                A
                 . 
               .al
             .a  l 
           .a    l  
       b .a      lh   6
       .a        l         
     .a          pcc  
   .a            l_-_   
 "u--------------v--#----u
C       m       H  4  B
 r:::::::::::::::::::::::w
             a
<F+>

 62=4a
 4a=36
 a=364
 a=9

 m+4=a
 m+4=9
 m=9-4
 m=5

 h2=54
 h2=20 `(h>0`)
 h=20
 h=25
<L>
 b2=95
 b2=45 `(b>0`)
 b=45
 b=35

 Exerccios

 _`[Para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]

 1. Escreva todas as relaes mtricas que
voc pode formar com as medidas indicadas no
tringulo retngulo A{b{c da figura _`[no adaptada_`].
 2. Qual a relao mtrica que voc pode formar
envolvendo as medidas t, x e y indicadas
no tringulo retngulo _`[no adaptado_`]?
<262>
 3. Determine as medidas *m* e *n* indicadas
neste tringulo retngulo:
 4. Determine as medidas *b* e *h* indicadas no
seguinte tringulo retngulo:
<p>
 5. Determine as medidas *a* e *n* indicadas no
tringulo retngulo a seguir.
 6. As medidas indicadas no tringulo retngulo
A{b{c da figura so tomadas em milmetros.
Determine as medidas *a*, *h*, *b* e *c* nele indicadas.

 7. Em um tringulo retngulo, os catetos
medem 7 cm e 24 cm. Determine a medida da:
 a) hipotenusa.
 b) altura relativa  hipotenusa.

 8. Em um tringulo retngulo, um cateto
mede 10 cm, e a projeo desse cateto sobre a
hipotenusa mede 5 cm. Nessas condies, determine
a medida:
 a) da hipotenusa.
 b) do outro cateto.
 c) da altura relativa  hipotenusa.

<p>
 9. Todo tringulo inscrito numa semicircunferncia
 retngulo. Na figura _`[no adaptada_`], uma
corda ^c?A{b*  projetada
ortogonalmente sobre
o dimetro ^c?B{c*, determinando
um segmento ^c?B{d*, que mede 9 cm. Se
o raio da circunferncia
mede 8 cm, calcule a
medida x da corda ^c?A{b*.
 10. Por um ponto A de uma circunferncia
traa-se o segmento ^c?A{h* perpendicular a um
dimetro ^c?B{c*, conforme a figura _`[no adaptada_`].
  Se o ponto H determina no dimetro segmentos
de 4 cm e 9 cm, determine a medida x do
segmento ^c?A{h*, a medida y da corda ^c?A{b* e a medida
z da corda ^c?A{c*.
 11. Em um mapa, as cidades A, B e C so os
vrtices de um tringulo retngulo, e o ngulo
reto est em A. A estrada ^c?A{b* tem 80 km, e a
estrada ^c?B{c* tem 100 km. Um rio impede a construo
de uma estrada que ligue diretamente
a cidade A com a cidade C. Por esse motivo,
projetou-se uma estrada saindo da cidade A e
perpendicular  estrada ^c?B{c*, para que ela seja
o mais curta possvel. Qual o comprimento da
estrada que ser construda?
 12. Em um retngulo, a perpendicular traada
de um vrtice sobre uma diagonal determina
sobre essa diagonal segmentos de 64 cm
e 36 cm. Calcule o permetro desse retngulo.
 13. Em um tringulo retngulo A{b{c, o cateto
^c?A{b* mede 15 cm, e o segmento ^c?H{c* mede 16 cm.
Determine a medida x da hipotenusa desse tringulo
A{b{c.
<R->

<263>
<p>
 Brasil Real

 wr Arquitetura
  Histria
  Geografia

  No sculo XIX, com a vinda da famlia real portuguesa para o Brasil, deu-se a abertura dos
portos s naes amigas e, com isso, iniciou-se a imigrao. Os primeiros imigrantes que aqui
chegaram foram os alemes, e na dcada de 1870 vieram os italianos. A partir de 1880, a imigrao
foi intensificada e milhares de imigrantes de vrias partes do mundo vieram para o Brasil.
S no estado de So Paulo, entre 1882 e 1934, chegaram 4,5 milhes de imigrantes, dos quais
2,3 milhes entraram nesse estado pelo porto de Santos.
  Juntamente com a fora de trabalho os imigrantes trouxeram tambm sua cultura. Os de origem
alem, que se concentraram principalmente nos estados de Santa Catarina e Rio Grande
do Sul, exerceram grande influncia em vrios setores da vida brasileira: na alimentao, no
lazer, nas manifestaes culturais, na arquitetura etc.
  At hoje as casas no estilo enxaimel ainda perduram no Sul do Brasil e constituem grande
atrao turstica. Originalmente eram construes simples, que consistiam em um alicerce de
pedra ou tijolo, sobre o qual montava-se uma estrutura de madeira quadrada ou retangular,
posteriormente preenchida com tijolos ou argila. As madeiras horizontais eram travadas com
outras inclinadas, para garantir a firmeza da estrutura.
  
<R+>
 _`[foto_`]
 Legenda: O enxaimel trazido pelos imigrantes
alemes remonta ao perodo renascentista.
Foi desenvolvido em alguns lugares da Europa e muito
usado na 
  Alemanha entre os sculos XVI e XVIII.
Na foto, a casa nesse estilo fica em Pomerode,
Santa Catarina.
<R->

  Observe a representao _`[no adaptada_`] de uma construo caracterstica
do Rio Grande do Sul.
<R+>
 a) A torre (sem o telhado) tem a forma de um slido  prisma
hexagonal  cujas faces tm 2 m de largura. Os tringulos de
madeira incrustados nas paredes da torre tm 1 m de altura e
so issceles.
  Quantos metros de ripa de madeira foram utilizados em todos
os tringulos da torre? Utilize uma calculadora para obter o resultado
aproximado at o centmetro mais prximo.
 b) Na alvenaria da face lateral da construo, foram incrustados
numa faixa, de madeira, 6 quadrados iguais com suas
duas diagonais e outros dois quadrados num extremo da
parede. Supondo que o metro da ripa utilizada nesse
trabalho tenha custado R$20,00, que quantia o construtor
teria gastado apenas na faixa, sabendo que o
comprimento dessa parede lateral  10 m?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<264>
 Retomando o que aprendeu

<R+>
 _`[Para os exerccios de 1 a14, pea orinetao ao professor_`]
<R->

  Responda s questes em seu caderno.
<R+>
 1. (UFSM-RS) Observe na figura _`[no adaptada_`] os trs quadrados
identificados por I, II e III. Se a rea
do quadrado I  36 cm2, e a rea do quadrado
II  100 cm2, qual , em centmetros quadrados,
a rea do quadrado III?
<p>
 a) 64
 b) 81
 c) 49
 d) 60
 e) 80

 2. De acordo com o tringulo a seguir, o valor de x2+y2 :

<F->
         .
        
        _ 
        _  
  7    _h   y
        _    
     pcccc  
     l_-__-_   
 ----v--#--#----u
     x       6    
 <:::::::><::::::>
<F+>

 a) 45
 b) 65
 c) 75
 d) 85
 e) 95

 3. Considere que, na figura 
  _`[no adaptada_`], o quadrado
A{b{c{d tem 165 cm de permetro, e C e D
pertencem ao dimetro ^c?E{f*, de tal modo que
^c?O{c*==^c?O{d*.
  Nessas condies, a medida do raio da circunferncia
, em centmetros:
 a) 9 
 b) 10 
 c) 12 
 d) 15 
 e) 16

 4. Em qualquer tringulo retngulo, a medida
da mediana relativa  hipotenusa  igual  metade
da medida da hipotenusa. Em um tringulo
retngulo, os catetos medem 7 cm e 24 cm.
Nessas condies, calcule a medida da mediana
relativa  hipotenusa nesse tringulo.
 a) 12 cm 
 b) 13 cm 
 c) 12,5 cm  
<p>
 d) 13,5 cm
 e) 14 cm

 5. (UCSal-BA) Na situao do esquema da figura _`[no adaptada_`],
deseja-se construir uma estrada que ligue
a cidade A  estrada ^c?B{c*, com o menor comprimento
possvel. Essa estrada medir, em quilmetros:
 a) 24 
 b) 28 
 c) 30 
 d) 32
 e) 40

 6. (PUC-MG) A corda ^c?A{b* da figura _`[no adaptada_`] tem
16 cm de comprimento e dista 6 cm do centro
da circunferncia. O dimetro dessa circunferncia
, em centmetros:
 a) 20
 b) 22
 c) 24
<p>
 d) 26
 e) 28 

 7. O acesso a uma garagem situada no subsolo
de uma casa  feito por rampa, conforme nos
mostra o desenho _`[no adaptado_`].
  Sabe-se que a rampa ^c?A{c* tem 10,25 m de comprimento,
e a altura ^c?B{c* da garagem  2,25 m.
A distncia ^c?A{b* entre o porto e a entrada da
casa :
 a) 9 m 
 b) 10 m 
 c) 10,5 m 
 d) 11 m
 e) 12 m

<265>
 8. (UEL-PR) As razes da equao x2-21x+108=0 representam, em centmetros, as medidas
dos catetos de um tringulo retngulo.
A medida da altura relativa  hipotenusa desse
tringulo , em centmetros, igual a:
<p>
 a) 3,6 
 b) 4,5 
 c) 4,8
 d) 7,2
 e) 7,5

 9. Na figura _`[no adaptada_`], A{b{c{d  um paralelogramo.
  Se ^c?B{c* mede 15 cm, ^c?D{m* mede 16 cm, ^c?K{c* mede
12 cm, e ^c?A{k* mede 11 cm, o permetro do quadriltero
A{b{m{d :
 a) 75 cm 
 b) 70 cm 
 c) 78 cm
 d) 80 cm
 e) 82 cm

 10. Para calcular a medida do lado ^c?A{d* na
figura, pode-se dividi-la em dois tringulos: o
tringulo B{c{d (retngulo em :C) e o tringulo
A{b{c (retngulo em :B).

<p>
<F->
            {a 
             . 
           .a 
     15 .a    
       .a       
     .a          
  {bs             
    l              
    l               
12 l                
    pcc              
    l_-_               
    v--#----------------u
   {c        16        {d
<F+>

 A medida do lado ^c?A{d* :
 a) 25 
 b) 15 
 c) 30
 d) 27
 e) 32

 11.  dado um tringulo retngulo no qual a
altura relativa  hipotenusa mede 24 cm. Sabendo
que a soma das medidas dos dois catetos
desse tringulo  
<p>
  70 cm, determine o permetro desse tringulo.
 a) 100 cm 
 b) 110 cm 
 c) 120 cm
 d) 150 cm
 e) 200 cm

 12. (Saresp) Pedro precisa de uma tbua para
fazer um reforo diagonal numa porteira de
1,5 m de altura por 2 m de comprimento.
  O comprimento dessa tbua dever ser de:
 a) 1,5 m 
 b) 2,0 m 
 c) 2,5 m
 d) 3,0 m

 13. Na representao em escala a seguir _`[no adaptada_`], os
quadrados so iguais e cada centmetro representa
100 km. Um avio sai da cidade A, faz
uma parada para abastecer na cidade C e chega
 cidade B, conforme a figura.
  Das alternativas dadas, assinale o valor mais
prximo da distncia percorrida pelo avio, de
A at B, passando por C.
 a) 1.000 km 
 b) 950 km 
 c) 1.150 km
 d) 1.400 km
 e) 1.250 km

 14. No tringulo A{b{c, retngulo em :A, tem-se
A{c=8 cm e B{c=10 cm. Sendo ^c?A{d* perpendicular
a ^c?B{c*, qual o comprimento do segmento
^c?A{d*?

<F->
{b
 l,. {d
 l   ,.
 l      a,.
 l          a,.
 l              a,.
 x-------------------u".
{a                     {c
<F+>

<p>
 a) 4,8 cm 
 b) 2,4 cm 
 c) 6 cm
 d) 5 cm
 e) 5,4 cm

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Sexta Parte